미술 수학적 원리 - misul suhagjeog wonli

신문은 선생님

원근법

여러분은 수학이라고 하면 어떤 생각이 먼저 떠오르나요? '어려워' '지루해' '하기 싫어'인가요? 하지만 수학은 쉽고 단순한 것을 아주 좋아하는 학문이랍니다. 복잡한 상황이나 문제를 수식으로 단순화해서 반드시 해결해야 할 것을 골라내고, 그 해답을 구해서 당장 눈앞에 닥친 실생활 문제를 쉽게 해결하려는 것이 수학이에요.

우리가 미술관에서 관람할 수 있는 명화들에도 수학의 이와 같은 단순화를 적용한 작품이 많습니다. 가장 대표적인 것이 '원근법'입니다. 원근법이란 3차원 공간에 있는 물체를 시각적으로 거리감을 느낄 수 있도록 2차원 평면에 그리는 방법인데요. 수학의 기원을 이루는 기하학과 밀접하게 맞닿아 있답니다. 오늘은 명화 속 원근법에 숨겨진 수학 원리에 대해 알아볼게요.

◇도형의 닮음비를 이용한 원근법

명화를 감상하다 보면 평면인데도 입체감을 느낄 수 있는 작품이 있습니다. 이런 작품은 '원근법'을 활용한 것입니다. 원근법은 크게 색채원근법과 투시원근법의 두 가지로 나눌 수 있는데요. 색채원근법이란 가까이 있는 것은 뚜렷하게, 멀리 있는 것일수록 흐리게 그리는 방법이에요. 투시원근법은 가까이 있는 것은 크게, 멀리 있는 것은 작게 그리는 방법입니다. 우리가 흔히 원근법이라 부르는 건 투시원근법을 말해요.

원근법은 수학에서 도형의 닮음비를 이용해서 그림을 그리는 방법이라고 이해하면 쉽습니다. 예를 들어 우리 앞에 높이가 똑같은 나무 두 그루가 있다고 생각해볼게요. 나무1은 서 있는 사람에게서 10m, 나무2는 서 있는 사람에게서 20m 떨어진 위치에 있다고 가정해봅시다. 그러면 나무 두 그루와 서 있는 사람 사이의 거리 비는 1대2가 됩니다.

원근법을 사용해 두 나무를 화폭에 옮겨볼까요? 앞에 서 있는 나무1의 높이를 20㎝로 그린다면 뒤에 있는 나무의 높이는 10㎝로 그려야 합니다. 즉, 바라보는 사람에게서 두 나무가 서 있는 거리의 비가 1대2이기 때문에, 화폭에 그릴 두 나무의 높이는 거꾸로 2대 1이 돼야 하는 거죠. 실제로는 똑같은 높이의 나무이지만 원근법으로 그린 그림에서는 나무까지의 거리와 그 나무가 화면에 그려지는 길이 사이에 반비례 관계가 성립합니다.

이를 수학식으로 나타내면 다음과 같이 정할 수 있습니다. 〈그림 속 나무 길이=1/바라보는 시점과 나무 사이 실제 거리〉

◇르네상스 시대부터 시작된 원근법

서양미술사에 원근법이 본격적으로 적용된 것은 르네상스 시대부터입니다. 그 전까지는 사실 서양화에서도 원근감을 찾아보기 어려웠답니다. 후기 중세 고딕 양식의 대가로 알려진 이탈리아 화가 치마부에(1240?~1302?)의 작품 '엄숙한 성모 마에스타'(1280~1290년 추정)를 보면 그림 가운데 아기 예수를 안은 성모가 큼직하게 그려져 있고, 그 주변 천사들이 아주 작게 그려져 있는 걸 볼 수 있어요. 평면적인 묘사가 특징이었던 중세 미술에서는 원근법을 철저하게 무시하고 가장 중요하다고 생각되는 신이나 성모, 예수를 눈에 띄게 부각했습니다.

하지만 르네상스 시대에 들어서자 서양 미술은 혁명적으로 바뀝니다. 신(神) 중심 사회에서 인간 중심 사회로 옮겨간 시대에 원근법은 인간을 인간답게 표현하는 가장 좋은 방법이었던 것 같아요.

원근법의 기본 원리를 처음으로 생각해낸 사람은 15세기 이탈리아의 건축가 브루넬레스키(Brunelleschi·1377~1446)입니다. 르네상스 건축 양식의 창시자이자 피렌체 산타마리아 델 피오레대성당의 커다란 돔을 설계한 인물로 유명하지요.

멀리 떨어진 사물일수록 작게 보인다는 건 누구나 아는 사실이었지만, 브루넬레스키는 이를 처음 수학적으로 계산해서 체계화했습니다. 그는 떨어진 거리에 따라 사물의 크기가 일정한 비율로 축소된다는 것을 알아냈지요. 또 실제로는 평행한 두 선이 멀리 가서 한 점에서 만난다(소실점)는 사실을 최초로 확인했어요.

◇마사초, 원근법을 처음 적용하다

이탈리아 화가인 마사초(Masaccio·1401~1428)의 걸작 '성삼위일체'(1426~1428년)는 르네상스 회화 중 원근법을 가장 먼저 선보인 작품입니다. 이 작품은 이탈리아 피렌체 산타마리아 노벨라 성당의 벽화인데요. 마사초는 이 작품에 등장하는 인물들을 실물과 흡사한 크기로 그렸고, 엄격한 비율과 구성을 통해 마치 고대 조각처럼 조형적으로 살아 있는 듯한 입체감을 주었습니다.

똑같은 종교 회화이지만, 마사초는 '성삼위일체'를 원근법을 활용해서 마치 벽에 거대하고 깊은 공간을 낸 것처럼 그렸어요. 이 작품을 처음 본 사람들은 실제 벽이 뒤쪽으로 쑥 들어가 있다고 생각했대요. 제단 위에는 그림 제작을 의뢰한 노부부가 무릎을 꿇고 앉아서 십자가에 못 박힌 예수를 바라보고 있고, 제단 아래에는 해골을 그려넣었지요. 여기에는 다음과 같은 글을 피렌체 사투리로 새겼어요. "나도 한때 당신과 같았다. 당신들은 지금의 내가 될 것이오." 이 작품이 제작될 당시 유럽은 흑사병이 창궐하고 있었는데, 마사초는 예수와 해골 이미지를 통해 재앙의 공포도 알렸다고 합니다.

마사초는 이 작품을 감상하기 가장 좋은 거리를 제단에서부터 약 6m로 정하고, 이 지점에 서서 그림을 올려다볼 때 가장 입체감을 잘 느낄 수 있도록 구성했습니다. 실제 이 그림을 분석하면 작품에서 6m 떨어진 감상자의 눈높이에서 각 인물과 배경을 비례에 맞춰 그렸음을 알 수 있습니다.

르네상스 시대 화가들이 캔버스의 2차원적인 한계를 극복하기 위해 비례와 닮음비를 적용한 원근법을 착안해낸 것은 대단한 발견이었습니다. 이후 원근법은 서양화와 동양화를 구별해주는 중대한 차이로 발전했어요. 오늘날에도 원근법은 다양하게 활용되고 있답니다. 특히 현실에 존재하는 이미지에 가상 이미지를 겹쳐 하나의 영상으로 보여주는 '증강현실(AR)'에서도 원근법의 원리가 사용되고 있어요.

재미있는 수학 공부방법! 미술 속 수학 배우기!

'미술'과 '수학'
언뜻 듣기에는 별 관련이 없어 보이기도 하고~ 어릴 적 그림으로 수학을 배웠던 것 같기도 하고~ 가물가물하시죠?
하지만!
“수학을 모르는 자, 그림을 그리지 말라!” 라는 말이 있을 정도로 미술에서는 수학이 중요한 역할을 합니다. 르네상스 시대 유명 화가들은 수학자적인 면모까지 갖추고 있었다고 하는데요! 물론 현재까지도 미술과 수학의 만남은 그 명맥을 이어오고 있습니다. 그래서 이번 포스팅에서는 미술-수학, 가까운 듯 멀어 보이는 둘 사이의 연관점을 찾아보며 이야기를 볼까 합니다.
재미있는 미술 속 수학이야기 시작합니다!!!

'원근법'
'기하학'의 토대가 되다!

원근법이란 눈으로 보는 3차원 공간을 2차원 위에 표현하는 회화 기법입니다. 원근법은 흔히 그림 기법으로 알려져 있지만, 사실 수학에 바탕을 둔 이론이랍니다! 원근법이 제대로 정립된 것은 르네상스 시대였습니다. 당시 화가들은 컴퍼스를 들고 다니며 거리나 물체의 비례를 재고 다녔다고 합니다. 또한 이 시대 화가들에게는 대수학과 기하학이 무척 중요했습니다. 화가들이 많이 읽는 책 첫 장에 ‘기하학을 모르는 자, 이 책을 보지 마라’라는 말이 적혀 있었다고 하니, 수학이 얼마나 큰 역할을 했는지 느껴지시죠?

위 사진은 한 번쯤 다 보셨죠? ^^
유명한 르네상스 시대 화가, 레오나르도 다빈치의 <최후의 만찬>이라는 그림입니다. 이 그림에는 '선 원근법'이 사용되었습니다. 선 원근법은 앞에 있는 물체는 크게 표현하고, 멀어질수록 물체를 작고 좁아지게 표현합니다. 이렇게 하면 2차원적인 그림에서도 입체적인 공간감을 느낄 수 있지요.

그림을 보실까요? 건축물의 구조와 예수 얼굴이 모아지는 소실점 덕분에 우리는 그림 중앙에 집중하게 됩니다. 단순한 평면화인데도 어떤 공간에 들어와있는 듯한 착각까지 줍니다. 이렇게 화가들이 사용한 원근법(투시도법)은 지도를 작성하는 데 도움을 주었고 후에 ‘사영기하학’이라는 새로운 도형학을 탄생시킵니다.

'씨름'속에 '수학'있다!?

조선시대 화가 김홍도의 작품, <씨름>을 보실까요? 가운데 씨름하고 있는 2명을 제외하면, 네 방면에 8명, 5명, 5명, 2명의 구경꾼들이 존재합니다. 이들을 위의 사진처럼 대각선으로 나누어 숫자를 계산해보면  두 개의 대각선에 각가 12명씩 사람이 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 옛날부터 12는 12달, 12시간에서 비롯하여 완전수로 여겨졌습니다. 그림 속에서 완벽한 수 ‘12’를 중요하게 여겼다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 그 속의 인물 배치 또한 조화와 균형을 유지하며 그렸다는 것이 참 놀라죠?

'현대미술에서도 수학은 계속된다!'

현대 미술에서도 여전히 수학은 중요한 걸까요? 그 답을 우리는 마우리츠 코르넬리스 에셔의 작품에서 찾아볼 수 있습니다. 네덜란드의 판화가 에셔는 기하학적 원리와 수학 개념을 토대로 2차원 평면 위에 3차원 공간을 표현합니다. 테셀레이션 기법을 특히 많이 활용했습니다.

테셀레이션(Tessellation)이란 규칙적인 공간 분할을 의미한다다. 즉, 동일한 모양을 이용해 평면이나 공간을 빈틈없이 채우는 것.

이해가 잘 안된다면... 같은 모양으로 꽉 차 있는 욕실 타일을 생각해보시면 될 것 같습니다. ^^
  에셔의 그림을 보시면 도마뱀의 모양, 새의 모양이 겹쳐져서 공간을 구성하고 있습니다. 그림 속 도마뱀과 실제 도마뱀, 새의 형상을 띈 그림자와 점점 구체화되는 새의 모양. 반복되는 기하학적 패턴의 아름다움과 환상성을 느낄 수 있습니다. ^^ 그림을 보면 현실과 비현실 공간 사이에 와있는 듯한 기분이 듭니다. 수학적이고 이성적인 개념들을 섞어 환상적인 자신만의 미술 세계를 창조해낸 것이지요.

'수학적 도구를 이용하여
메시지를 전달하다!'

위 그림은 초현실주의 화가 '살바도르 달리'의 <최후의 만찬>입니다.
뭔지 모를 위압감과 긴장감까지 느껴지는 그림이죠~!?

그런데 이 그림에서 주목할 것이 있습니다.
뒤 배경에는 '정오면체'로 구성된 '정십이면체'의 일부가 보이고 있죠.
여기서 정십이면체는 '우주'를 상징하는데요~! 이는 <플라톤의 다면체 이론>에서 비롯됩니다.

고대 그리스 철학자 플라톤은 물질 세계가 흙, 물, 공기, 불 등 4원소로 이루어졌다고 이야기했습니다. 그런데 정다면체가 딱 5가지뿐이라는 사실을 발견하고는 정다면체와 우주를 구성하고 있는 원소들을 대응시킨 것입니다. 가장 가볍고 날카로운 원소인 '불'은 정사면체, 가장 안정된 원소인 '흙'은 정육면체, 가장 유동적인 원소인 '물'은 가장 구에 가까운 모양으로
쉽게 구를 수 있는 정이십면체에 대응시켰고, 정팔면체는 마주보는 두 꼭짓점을 잡고 돌릴 수 있으므로 '공기'의 불안정성을 나타낸다고 했습니다. 그리고 마지막으로 정이십면체는 '우주' 전체의 형상이라고 믿었습니다. 이러한 플라톤의 다면체 이론을 바탕으로 살바도르 달리는 그림 속에서 자신의 메시지를 전달하기 위해 수학적 도구를 사용한 것입니다!!


너무 멋있다며 감탄만 하면서 감상했던 그림들 속에 이렇게 신기하고 재미있는 수학적 요소들이 숨어있었다니~ 정말 놀랍죠? 그리고 예술 속에서 수학이 가지는 또 다른 가능성을 살펴볼 수 있는 기회가 된 것 같네요. ^^ 

수학 공부에 지친 우리 학생들이 잠시 쉬어갈 수 있도록 준비한 이번 포스팅.
어떠셨나요? 다른 그림들 속에는 또 어떠한 수학적 요소가 숨어 있을지 궁금하지는 않나요? *^^
여러분의 즐겁고 행복한 수학 공부를 위해 앞으로도 저희 '강의하는 아이들'은 흥미로운 수학 이야기들을 많이 많이 준비할 예정입니다.


수학이 중요성은 나날이 커지는데 수포자는 급격하게 늘어나고 있는 슬픈 현실.
하지만 이 속에서도 '강의하는 아이들' 학생들 만큼은 다릅니다!

수학 공부가 마냥 재미있습니다.
수학을 싫어하던 제가 '수학 교사'의 꿈을 꾸게 되었습니다.
'수학' 덕분에 부모님과도 사이가 더 좋아졌습니다.
이제야 '진짜 수학공부'를 하는 것 같습니다.
성적오르는 재미를 느끼고 있습니다.

아이들의 말 속에 숨겨진 비밀은 무엇일까요?!