math/수2(새과정) [수2 이론] 로그 기본성질과 밑변환교육전략 2016. 3. 4. 09:59 01. 로그의 기본성질과 밑변환을 시작하며… 로그의 기본성질과 밑변환에 대한 증명 위주로 설명을 하고자 합니다. 증명하는 과정에서 로그의 정의와 지수법칙에 대한 이해도를 높일 수 있기 때문에 반드시 스스로 증명을 해보는 것이 효과적입니다. 열심히 수학을 공부하는 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 합니다. 02. 로그의 기본성질
03. 밑변환 공식
그럼 그 다음으로는 밑과 진수의 조건에 대해 알아볼께요. 로그는 지수에서부터 파생되어 나왔기 떄문에, 지수의 성질만 잘 이해하면 로그의 성질은 따라 오는거랍니다. 우리가 제곱근의 성질에 대해 배울 때 실수의 범위에서는 루트 안에 음수가 오면 안된다. 즉, 루트a에서 a≥0이어야 한다. 이렇게 배웠죠? 이건 제곱근의 정의 때문에 어쩔 수 없이(?) 붙게 되는 조건이죠. 왜냐하면, 제곱해서 음수가 되는 수는 실수 중에는 없으니까요. 로그도 마찬가지, 지수의 정의에 의해 나올 수 있는 수가 있고 나올 수 없는 수가 있는데요. 지수식에서 a와 b에 대해 알아볼께요. a의 x제곱은 b에서, a라는 수는 거듭제곱을 하게 될 수이죠. 앞에서 지수를 배울 때, 지수를 실수까지 확장을 하게 되면서 밑은 0보다 큰수가 되어야 한다고 배웠죠? 이미 지수가 유리수일 때부터 정의가 되려면 밑이 0보다 커야한다고 배웠기 때문에, 로그에서도 자연스럽게 a는 0보다 커야한다는 것을 알 수가 있죠. 그럼 0보다 크기만 하면 되냐? 또 0보다 큰 수중에서도 안되는 수가 있는데요. 바로 1이랍니다. a=1인 경우에는 로그라는 식 자체가 의미가 없어져요. 지수식에서 a=1인 경우를 생각해볼까요? 밑이 1인 경우에는 지수가 얼마든간에 항상 b가 1이 되죠? 그 말은, log1 4 이런 수는 없다는거에요. 이해 되나요? 그러니, 밑인 a가 a>0이면서 a≠1인 수에 대해서만 로그가 정의가 된다는거에요. 그럼 b는 어떨까요? b는 이번 역시 양수여야 한답니다. 왜냐? 지수식에서는 절대 음수가 나올 수 없답니다. 예를 들어 3을 몇제곱해야 -1이 될까요? 그런 수는 실수상에서는 존재하지 않는답니다. 물론, -1은 3제곱하면 -1이 되지만, 로그 자체를 밑이 0보다 큰 수에서 쓰기로 했기 때문에 절대 진수는 음수가 되지 못한다는거죠. 0도 나올 수가 없구요. 이해 되죠? 그럼 로그의 정의에 의한 문제 하나 풀어볼까요? 수학방 2014. 4. 11. 12:30 로그의 밑 변환 공식이에요. 로그에서 밑은 log 옆에 작게 쓰는 걸 말하죠? 이걸 변환시킬 수 있는 공식이에요. 이름 그대로 공식이니까 외워야겠죠? 이 로그의 밑 변환 공식을 알고 있어야 다음에 공부할 로그의 성질 두 번째도 이해할 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 로그의 성질 두 번째를 유도할 거니까요. 밑의 변환 공식을 잘 알아두면 로그의 계산을 할 때 조금 더 편리해져요. 어려운 공식은 아니고 두 개만 할 거니까 잘 봐두세요. 로그의 밑 변환 공식로그의 밑 변환 공식은 원래 있던 로그의 밑을 새로운 밑으로 바꿀 때 원래 로그의 모양이 어떻게 바뀌는지를 공식으로 나타낸 거예요. ax = b를 로그로 변환해보죠. ax = b의 양변을 c(c > 0, c ≠ 1)을 밑으로 하는 로그를 취해보죠. 두 번째 줄에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 logca ≠ 0이에요. 따라서 양변을 logca로 나눌 수 있어요. 네 번째 줄은 ①에서 logab = x니까 식에 대입했어요. 어떤가요? 분수 꼴로 되었는데, 분모, 분자 모두 밑은 c라는 새로운 밑이에요. 분모에 있는 로그의 진수는 a, 분자에 있는 로그의 진수는 b고요. 원래 로그의 밑과 진수를 밑이 같은 새로운 로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요. 새로운 밑으로 사용할 숫자 c는 1이 아닌 양수라면 어떤 숫자도 괜찮아요. 가능하면 새로운 로그로 바꿨을 때 원래 로그의 밑과 진수를 없애고 실수로 바꿀 수 있는 수를 사용하면 좋지요. a, b가 거듭제곱일 때 c는 소인수를 사용하면 좋아요. 예를 들어, a = 4, b = 8이라면 a = 22, b = 23이니까 c는 a, b의 소인수인 c = 2를 사용하는 거죠. a = 27, b = 81이라면 a = 33, b = 34니까 c = 3을 사용하고요. 이번에는 ax = b의 양변을 b(b > 0, b ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠. 두 번째 줄의 좌변에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 우변에서 밑과 진수가 같으면 1이죠? logbb = 1 세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 logba ≠ 0이에요. 따라서 양변을 logba로 나눌 수 있어요. 네 번째 줄은 ①에서 logab = x니까 식에 대입했어요. 원래 로그에서 밑과 진수를 바꾸고 역수를 취하면 원래 로그와 같다는 걸 알 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식  첫 번째 밑 변환 공식에서 b = 1이 되어도 괜찮아요. 하지만 두 번째 역수를 취하는 공식에서는 b가 로그의 밑이 되어야 하니까 1이면 안 돼요. b ≠ 1 a는 두 공식 모두에서 로그의 밑이니까 a > 0, a ≠ 1이어야 하고요. 다음을 간단히 하여라. (1) 밑이 4, 진수가 2니까 4, 2의 소인수인 2를 밑으로 하는 새로운 로그를 취해보죠. (2) 앞의 로그는 진수가 3, 뒤의 로그는 밑이 3이니까 로그의 역수를 취해서 계산해 볼까요? 함께 보면 좋은 글로그란, 로그의 정의 로그의 밑 변환 공식 |
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