비선형 미분방정식 라플라스 - biseonhyeong mibunbangjeongsig lapeullaseu

라플라스 변환

라플라스 변환은 미분방정식 최후의 수단입니다.
비록 라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정은 매우 길고 복잡하지만, 왠만한 선형미방은 다 풀 수 있습니다. 심지어 불연속 함수가 있는 방정식까지요.
오늘은 라플라스 변환에 대해 알아보겠습니다.

정의

라플라스 변환은 아래와 같이 정의됩니다.
$$
\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = \int^\infty_0 e^{-st} f(t)dt
$$
즉, 라플라스 변환은 $t$에 대한 함수 $f(t)$를 $s$에 관한 함수 $F(s)=\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$로 변환합니다.
예시로 지수함수의 라플라수 변환을 보겠습니다.
$$
\begin{align}\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace &= \int^\infty_0 e^{-st}e^{-3t}dt \\ &= \int^\infty_0 e^{-(s+3)t}dt \&= \left[\frac{-e^{-(s+3)t}}{s+3}\right]^\infty_0 = \frac{1}{s+3} \end{align}
$$
단, 마지막 줄은 $s>-3$일 때만 수렴합니다. 따라서 이 변환의 정의역은 $s>-3$입니다.
나머지 함수의 라플라스 변환 결과는 아래와 같습니다.

한 가지 외우는 팁을 알려드리자면,
$\sin t, \cos t$는 원 위의 점을 나타내기 때문에 라그랑주 변환의 분모가 원의 방정식 꼴을 하고 있고,
$\sinh t, \cosh t$는 쌍곡선 위의 점을 나타내기 때문에 분모가 쌍곡선의 방정식 꼴입니다.
한편 분자의 경우 $\sin$류 함수는 $k$, $\cos$류 함수는 $s$ 입니다.
그래서 저는 "SK텔레콤은 CS(Computer Science) 회사!"라고 외웠습니다 ㅎㅎ;

아직은 이게 어떻게 미방을 푸는지 전혀 모르겠습니다만, 일단 따라와주시기 바랍니다.

성질

함수가 라플라스 변환을 가지기 위해서는 다음 조건을 만족해야 합니다.

정의
$|f(t)| \leq Me^{ct}$를 만족하는 상수 $c, M>0, T>0$가 존재할 때 $f$는 지수차수 $c$인 함수라고 한다.

정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace$는 $s> c$에서 존재한다.

이 정리는 아까 전에서 $\mathcal{L}\lbrace e^{-3t}\rbrace$의 정의역이 $s>-3$인 이유를 설명합니다.
$e^{-3t}$의 지수차수가 $-3$이므로 $s>-3$에서 라플라스 변환을 가집니다.

또한 위의 표를 보면 한 가지 공통점을 눈치챌 수 있습니다.
모든 라플라스 변환은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴합니다.
이는 다음 정리로 요약할 수 있습니다.

정리
$f$가 $[0, \infty]$에서 조각 연속이며 지수차수 $c$를 가질 때, $\mathcal{L}\lbrace f(t)$은 $s\rightarrow \infty$에서 $0$으로 수렴한다.

마지막 중요한 점, 라플라스 변환은 선형연산입니다.
이는 정적분이 선형이므로 당연한 결과이지만 매우 중요합니다.

라플라스 역변환

라플라스 역변환은 말 그대로 라플라스 변환을 거꾸로 하는 것입니다.
예를 들어 $\mathcal{L}^{-1} \lbrace \frac{1}{s+3} \rbrace = e^{-3t}$입니다.
위에서 봤다시피 대부분 라플라스 변환은 간단한 (분자)/(분모) 꼴이기 때문에, 라플라스 역변환을 하기 위해서는 부분분수로 최대한 주어진 식을 간단한 유리식으로 바꾸는 것이 좋습니다.
예시는 아래와 같습니다
$$
\begin{align}\mathcal{L}^{-1}\left\lbrace \frac{s^2+6s+9}{(s-1)(s-2)(s+4)} \right\rbrace &= \mathcal{L}^{-1}\left\lbrace -\frac{16/5}{s-1} + \frac{25/6}{s-2} + \frac{1/30}{s+4} \right\rbrace \\ &= \frac{-16}{5}e^t + \frac{25}{6}e^{2t} + \frac{1}{30}e^{-45}\end{align}
$$
부분분수로 바꾸는 과정은 헤비사이드라는 방법을 사용했으니 모르시는 분은 찾아보시길 바랍니다.
마지막 줄에서 라플라스 (역)변환이 선형이라는 성질을 사용했습니다.

도함수의 라플라스 변환

정리

$\mathcal{L}\lbrace f^{(n)}(t) \rbrace = s^n F(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$

위 식은 수학적 귀납법으로 보일 수 있는데 과정이 꽤 복잡하므로 생략합니다.
중요한 것은, 이 정리가 라플라스 변환을 미분방정식 풀이의 사기캐로 만들어준다는 것입니다.
백문이 불여일견, 예시를 통해 라플라스 변환을 이용한 미분방정식의 풀이를 보여드리겠습니다.

아래 미분방정식을 풀어보겠습니다.
$$
y' + 3y = 13 \sin 2t, \quad y(0)=6
$$
1단계: 양변에 라플라스 변환을 취한다
$\mathcal{L}\lbrace y \rbrace = Y(s)$라고 두고 라플라스 변환을 취하겠습니다.
$$
\mathcal{L} \lbrace y' + 3y\rbrace = sY(s) - y(0) + 3Y(s) = \mathcal{L} \lbrace 13\sin 2t \rbrace = \frac{26}{s^2+4}
$$
2단계: $Y(s)$를 부분분수로 표현한다
$$
Y(s) = \frac{6s^2+50}{(s+3)(s^2+4)}=\frac{8}{s+3}+\frac{-2s+6}{s^2+4}
$$
3단계: 라플라스 역변환을 취한다.
$$
y = 8e^{-3t} -2 \cos 2t + 3 \sin 2t
$$
짠! 이렇게 라플라스 변환을 이용하여 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.
나중에 기회가 된다면 조금 더 복잡한 함수에 대해서 라플라스 변환을 적용하는 방법을 알아보겠습니다.

[제어공학] 4. 미분방정식과 라플라스 변환

일반적으로 \(n\)차 시스템의 미분방정식은 다음과 같고,$$\frac{d^{n}y(t)}{dt^{n}}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_{1}\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)$$\(a_{0},\,a_{1},\,...,\,a_{n-1}\)이 \(t\)에 대한 함수가 아니면, 선형 상미분방정식(linear ordinary equation)이라고 한다. 

일반적으로 1계 선형 상미분방정식은 다음과 같고,$$\frac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)$$2계 선형 상미분방정식은 다음과 같다.$$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+a_{1}\frac{dy}{dt}+a_{0}y(t)=f(t)$$많은 물리시스템은 비선형이므로 비선형미분방정식으로 나타내어진다. 예를들어 질량이 \(m\)이고, 길이 \(l\)을 갖는 단진자운동을 나타내는 미분방정식은 다음과 같다.$$m\ell\frac{d^{2}\theta(t)}{dt}+mg\sin\theta(t)=0$$위의 미분방정식은 비선형이고, 이 시스템을 비선형시스템(nonlinear system)이라고 한다. 

일반적으로 \(n\)계 미분방정식은 \(n\)개의 1계 미분방정식들로 나누어질 수 있다. 1계 미분방정식이 고계 미분방정식보다 풀이가 간단하기 때문에 제어시스템의 해석에 1계 미분방정식을 많이 사용한다. 다음은 RLC(저항-인덕터-커패시터) 직렬회로는 다음의 미분방정식으로 나타낼 수 있다.$$Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int{i(t)dt}=e(t)$$여기서 \(R\)은 저항, \(L\)은 인덕턴스, \(C\)는 커패시턴스, \(i(t)\)는 회로의 전류, \(e(t)\)는 인가된 전압이다. 위의 미분방정식에서$$x_{1}(t)=\int{i(t)dt},\,x_{2}(t)=\frac{dx_{1}(t)}{dt}$$라 하면 RLC회로에 대한 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\frac{dx_{2}(t)}{dt}=-\frac{1}{LC}x_{1}(t)-\frac{R}{L}x_{2}(t)+\frac{1}{L}e(t)$$위와 같은 방법으로 \(n\)계 선형 상미분방정식에서$$x_{1}(t)=y(t),\,x_{2}(t)=\frac{dy(t)}{dt},\,...,\,x_{n}(t)=\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}$$라고 하면, \(n\)계 미분방정식을 다음과 같이 \(n\)개의 1계 미분방정식으로 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}&\frac{dx_{1}(t)}{dt}=x_{2}(t)\\&\frac{dx_{2}(t)}{dt}=x_{3}(t)\\&\vdots\\&\frac{dx_{n}(t)}{dt}=-a_{0}x_{1}(t)-a_{1}x_{2}(t)-\cdots-a_{n-2}x_{n-1}(t)-a_{n-1}x_{n}(t)+f(t)\end{align*}$$위 식에 있는 1계 미분방정식의 집합을 상태방정식(state equation)이라 하고, \(x_{1},\,...,\,x_{n}\)을 상태변수(state variable)라고 한다. 상태변수는 다음의 조건을 만족시켜야 한다.

-임의의 초기시각 \(t=t_{0}\)에서 상태변수 \(x_{1}(t_{0}),\,x_{2}(t_{0}),\,...,\,x_{n}(t_{0})\)는 그 시스템의 초기상태(initial state)들을 정의한다.

-\(t\geq t_{0}\)에 대한 그 계의 입력과 위에서 정의된 초기상태가 주어지면, 상태변수는 그 시스템의 미래의 동작을 완전히 정의해야 한다. 

어떤 시스템의 상태변수는 임의의 시각 \(t_{0}\)에서 그 변수들의 값을 알고 그 이후에 가해지는 입력에 대한 정보가 임의의 시각 \(t>t_{0}\)에서의 시스템의 상태를 결정하기에 충분한 변수 \(x_{1}(t),\,x_{2}(t),\,...,\,x_{n}(t)\)의 최소집합(minimal set)으로 정의된다. 따라서 \(n\)개의 상태변수의 상태공간식(space state form)은 다음과 같다.$$\dot{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=\mathbf{Ax}(\mathbf{t})+\mathbf{Bu}$$여기서$$\mathbf{x(t)}=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\ \vdots\\x_{n}(t)\end{pmatrix},\,\mathbf{u(t)}=\begin{pmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\ \vdots\\u_{p}(t)\end{pmatrix},\,\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix},\,\mathbb{B}=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{np}\end{pmatrix}$$상태변수들을 그 시스템의 출력과 혼동해서는 안된다. 어떤 시스템의 출력은 측정이 가능하지만 상태변수는 그렇지 않다. 일반적으로 출력변수는 다음과 같이 상태변수들의 대수결합으로 나타낼 수 있다.$$\mathbf{y(t)}=\mathbf{Cx(t)+Du}$$여기서$$\mathbf{y(t)}=\begin{pmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\\ \vdots\\y_{q}(t)\end{pmatrix},\,\mathbf{C}=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_{q1}&c_{q2}&\cdots&c_{qn}\end{pmatrix},\,\mathbf{D}=\begin{pmatrix}d_{11}&d_{12}&\cdots&d_{1p}\\d_{21}&d_{22}&\cdots&d_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\d_{q1}&d_{q2}&\cdots&d_{qp}\end{pmatrix}$$라플라스 변환은 선형미분방정식의 해를 구하는 데 사용되는 변환이다. 선형미분방정식의 고전적 해법에 비해 라플라스변환은 다음의 두 가지의 장점이 있다.

1. 동차방정식의 해와 특수 적분해가 한 번의 연산으로 얻어진다.

2. 라플라스변환에 의해 미분방정식이 구하고자 하는 함수의 라플라스 변환 \(F(s)\)에 대한 대수방정식으로 바뀐다. 이 대수방정식에 대수적 연산을 하여 \(F(s)\)를 구한 다음 역 라플라스 변환을 하여 구하고자 하는 해를 구할 수 있다.

어떤 유한한 실수 \(\sigma\)에 대해 실함수 \(f(t)\)가 다음의 조건을 만족한다고 하자.$$\int_{0}^{\infty}{\left|f(t)e^{-\sigma t}\right|dt}<\infty$$이러한 함수 \(f(t)\)에 대한 라플라스 변환 \(F(s)\)는 다음과 같이 정의된다.$$F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_{0-}^{\infty}{f(t)e^{-st}dt}$$변수 \(s\)는 복소변수 \(s=\sigma+j\omega\)이고, 라플라스 연산자(Laplace operator)라고 한다. 여기서 정의된 라플라스 변환은 적분구간이 0에서 무한대(\(\infty\))이므로 단측 라플라스 변환(one-sided Laplace transform)이라고 한다. 이것은 \(t=0\)이전의 \(f(t)\)에 포함된 모든 정보는 무시되거나 0으로 간주되는 것을 의미한다. 

출력은 입력보다 먼저 발생되지 않고, 이러한 시스템을 인과적(casual) 또는 물리적으로 실현적(physically realizable)이라고 한다. 

엄밀한 라플라스 변환은 \(t=0-\)(좌극한)에서 \(t=\infty\)까지의 구간에서 정의되지만 여기서 다루는 문제들은 라플라스 변환이 주어지거나 변환표를 찾아 구할 수 있으므로 좌극한, 우극한 같은 미세한 문제를 고려할 필요가 없고 편리함을 위해 \(t=0\) 또는 \(t=t_{0}(\geq0)\)를 초기시각으로 놓는다.

단위계단함수 \(u(t)\)는 다음과 같이 정의된다.$$u_{s}(t)=\begin{cases}1&\,(t\geq0)\\0&\,(t<0)\end{cases}$$ \(u(t)\)의 라플라스 변환을 정의를 이용해서 구하면 다음과 같다.$$F(s)=\int_{0}^{\infty}{u_{s}(t)e^{-st}dt}=\left[-\frac{1}{s}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}$$이때 이 라플라스 변환이 정의되려면 다음이 성립해야 한다.$$\int_{0}^{\infty}{\left|u_{s}(t)e^{-\sigma t}\right|dt}=\int_{0}^{\infty}{|e^{-\sigma t}|dt}<\infty$$즉, \(s\)의 실수부 \(\sigma\)가 0보다 커야 한다.

다음과 같이 정의된 지수함수 \(f(t)\)에 대한$$f(t)=e^{-\alpha t}\,(t\geq0)$$라플라스 변환을 정의를 이용하여 구하면 다음과 같다.$$F(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-\alpha t}e^{-st}dt}=\left[-\frac{e^{(s+\alpha)t}}{s+\alpha}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s+\alpha}$$라플라스 변환 \(F(s)\)의 역변환 \(f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))\)는 다음과 같이 복소 선적분으로 정의된다.$$f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}{F(s)e^{st}ds}$$여기서 \(c\)는 \(F(s)\)의 모든 특이점들의 실수부보다 큰 실수 상수이다. 역 라플라스 변환은 대부분 라플라스 변환표를 이용해서 구한다. 다음은 라플라스 변환표이다.

다음은 라플라스 변환의 중요한 성질들이다.

1. 상수와의 곱셈: \(k\)를 상수, \(F(s)\)를 \(f(t)\)의 라플라스 변환이라고 하면 다음이 성립한다.$$\mathcal{L}(kf(s))=kF(s)$$2. \(F_{1}(s)\)와 \(F_{2}(s)\)를 각각 \(f_{1}(t)\)와 \(f_{2}(t)\)의 라플라스 변환이라고 하면 다음이 성립한다.$$\mathcal{L}(f_{1}(t)\pm f_{2}(t))=F_{1}(s)\pm F_{2}(s)$$3. 미분: \(F(s)\)를 \(f(t)\)의 라플라스 변환이라고 하고, \(\displaystyle f(0)=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{f(t)}\)라고 하면 다음이 성립한다.$$\mathcal{L}\left(\frac{d f(t)}{dt}\right)=sF(s)-\lim_{t\,\rightarrow\,0}{f(t)}=sF(s)-f(0)$$4. 적분 \(F(s)\)를 \(f(t)\)의 라플라스 변환이라고 하면 다음이 성립한다.$$\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f(\tau)d\tau}\right)=\frac{F(s)}{s}$$5. 시간의 지연(평행이동): 시간이 \(T\)만큼 지연된 \(f(t)\)의 라플라스 변환은 \(f(t)\)의 라플라스 변환 \(F(s)\)에 \(e^{-Ts}\)를 곱한것과 같다. 즉$$\mathcal{L}(f(u-T)u_{s}(t-T))=e^{-Ts}F(s)$$여기서 \(u_{s}(t-T)\)는 \(T\)만큼 오른쪽으로 이동한 단위계단함수이다.

6. 초기값 정리: \(f(t)\)의 라플라스 변환이 \(F(s)\)이고 극한 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,0}{f(t)}\)가 존재하면 다음이 성립한다.$$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{f(t)}=\lim_{s\,\rightarrow\,\infty}{F(s)}$$7. 최종값 정리: \(f(t)\)의 라플라스 변환이 \(F(s)\)이고, \(sF(s)\)가 허수축과 \(s\)평면 오른쪽에서 해석적이면, 다음이 성립한다.$$\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{f(t)}=\lim_{s\,\rightarrow\,0}{sF(s)}$$라플라스 변환 \(\displaystyle F(s)=\frac{5}{s(s^{2}+s+2)}\)에 대해 \(sF(s)\)는 허수축과 \(s\)평면 오른쪽에서 해석적(극점이 \(s\)평면 왼쪽에 있다)이므로 최종값 정리를 적용할 수 있고 다음이 성립한다.$$\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{f(t)}=\lim_{s\,\rightarrow\,0}{sF(s)}=\lim_{s\,\rightarrow\,0}{\frac{5}{s^{2}+s+2}}=\frac{5}{2}$$라플라스 변환 \(\displaystyle F(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)에 대해 \(sF(s)\)는 허수축에 극점 \(s=\pm j\omega\)를 갖기 때문에 최종값 정리를 적용할 수 없다.

8. 복소 평행이동: 상수 \(\alpha\)에 대해 다음이 성립한다.$$\mathcal{L}(e^{\mp\alpha t}f(t))=F(s\pm\alpha)$$9. 합성곱: \(F_{1}(s)\), \(F_{2}(s)\)가 각각 \(f_{1}(t)\), \(f_{2}(t)\)의 라플라스 변환이라고 하면 다음이 성립한다.$$\begin{align*}F_{1}(s)F_{2}(s)=\mathcal{L}(f_{1}(t)*f_{2}(s))&=\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)d\tau}\right)\\&=\mathcal{L}\left(\int_{0}^{t}{f_{2}(\tau)f_{1}(t-\tau)d\tau}\right)\end{align*}$$여기서 기호 \(*\)는 시간 영역에서의 합성곱(convolution)이다. 이때 다음이 성립한다.$$\mathcal{L}(f_{1}(t)f_{2}(t))=F_{1}(s)*F_{2}(s)$$라플라스 변환에 대한 합성곱은 복소적분이고, 여기서는 깊게 다루지 않을 것이다('그런게 있다' 정도로만 알면 된다).

참고자료:

Automatic Control Systems 9th edition, Kuo, Golnaraghi, Wiley