학습목표
-시어핀스키 삼각형을 만드는 반복 규칙을 찾을 수 있다.
-시어핀스키 삼각형을 작도할 수 있다.
-시어핀스키 피라미드를 단계별로 만들 수 있다.
음...... 시어핀스키 도형은 시에르핀스키 도형이랑 같은 말인데요...(시에르핀스키 게스킷이라고도 한대요!) 바츨라프 시에르핀스키라는 사람이 만들었다고 하네요!
이 그림이 바로 시어핀스키 삼각형인데요 단계를 진행할수록 점점 작은 삼각형을 생성합니다. 시어핀스키 삼각형을 만드는 반복 규칙은 정삼각형의 각 변의 중심을 연결하여 각 변의 중심을 제거하는 것입니다. 그럼 수의 패턴을 찾아볼까요?(이 수의 패턴은 본래의 시어핀스키 삼각형을 약간 응용해서 3등분 알고리즘을 적용한 도형을 이용했는데요... 사진을 찾지 못했어요ㅠㅠ 죄송합니다...)
단계 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... | n |
색칠한 정삼각형의 수 | 1 | 6 | 36 | 216 | 1296 | ... |
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각각 단계에서 제거된 정삼각형의 수 | 0 | 3 | 18 | 108 | 648 | ... | |
각 단계에서 제거된 정삼각형의 총수 | 0 | 3 | 21 | 129 | 777 | ... | ... |
단계 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | n |
색칠한 부분의 넓이 | S | 3/4S | 9/16S | 27/64S | (3/4)네제곱S | (3/4) 5제곱S | ... | (3/4) n제곱S |
음... 정신없이 왔는데... 이제 조금 이해가 되시나요??? 바로 다음 도형인 시어핀스키 피라미드로 넘어갈게요~
평면에서와 마찬가지로 공간에서도 시어핀스키 삼각형을 응용한 시어핀스키 피라미드를 만들 수 있어요~ 시어핀스키 삼각형이 평면에서 정삼각형으로 출발한 것과는 달리 정사면체에서 시작해서 이 정사면체들을 결합하여 점점 더 큰 피라미드들을 만들 수 있어요!
요놈이 바로 시어핀스키 피라미드인데요... 한 번쯤 직접 만들어봐도 괜찮은 작품이에요! 이건 혼자서 만들긴 어렵구요... 다른 사람들과의 팀워크와 협동심이 많이 중요한 작품이에요~ 유의사항 적어드릴께요~
-0단계를 할 때 전개도에 마커, 크레용, 칼라펜을 이용하여 이쁘게 장식을 합니다. 너무 많이 칠해서 젖지 않도록 주의하시고요, 이름과 학년, 반을 반드시 적어 놓도록 해요!
-실선을 따라 정확하게 짤라야해요!
-점선을 따라 조심스럽게 자를 대어 접어요. 반드시 직선의 모서리가 직선이 되도록 해야 해요!
-전개도의 늘어진 부분에 풀칠을 합니다. 풀칠을 한 부분이 정사면체의 안쪽에 들어가도록 해요!
-풀이 마르도록 기달려요. 모서리가 벌어지면 이쑤시개를 이용해서 벌어진 부분에 다시 풀칠해요!
-벌어진 모서리가 있는지, 모서리가 일직선인지, 길이가 같은지 꼼꼼히 확인해요!
-완전히 마르도록 기달려서 최종 검사를 통과하면 완성!
이상으로 시어핀스키 도형에 대한 내용을 마칠게요~ 감사합니다~
시에르핀스키 삼각형
시어핀스키 삼각형(Sierpiński triangle)은 바츠와프 시에르핀스키의 이름이 붙은 프랙탈 도형이다. 시에르핀스키 가스켓(Sierpiński gasket)으로도 불린다.
시에르핀스키 삼각형은 다음과 같은 방법을 통해 얻을 수 있다.
- 정삼각형 하나에서 시작한다.
- 정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 만들어진다. 이 작은 정삼각형을 제거한다.
- 남은 정삼각형들에 대해서도 2.를 실행한다.
- 3.을 무한히 반복한다.
이것을 반복하면 다음과 같은 도형이 얻어진다.(무한반복)
시에르핀스키 삼각형 3개를 이용하여 원래의 2배의 크기인 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있으므로, 이 도형의 하우스도르프 차원은 이다.
성질[편집]
다음의 두 성질은 일반적인 시에르핀스키 도형의 성질이다.
- 시에르핀스키 삼각형의 변의 길이의 합은 무한대이다. 처음 정삼각형의 둘레의 길이를 이라 할 때, step 2의 변의 길이는 1.5배가 된다. 이를 무한대 반복하면 길이는 (무한대)가 된다.
- 시에르핀스키 삼각형의 넓이는 0이다. 처음 정삼각형의 넓이를 라 할 때, 두 번째 과정에서는 가 된다. 따라서 이를 무한대 반복하면 넓이는 이 된다.
같이 보기[편집]
위키미디어 공용에 관련된 미디어 자료가 있습니다. 시에르핀스키 삼각형 |
- 아폴로니안 개스킷
- 시에르핀스키 카펫
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